Macroscopic quantum tunneling in Bose-Einstein condensates

Abstract

The decay of Bose-Einstein condensates from a metastable ground state into collapse due to macroscopic quantum tunneling is investigated using a semiclassical approximation to Feynman’s path integral formalism. Applying a variational ansatz of a single Gaussian to the wave function determined by the Gross-Pitaevskii equation, a special choice of the Gaussian width parameters yields a mean-field energy functional in Hamiltonian form. The temporal spatial extension of the condensate then is described in the picture of a particle moving in an external potential. In this picture the decay of the condensate wave function is investigated using the bounce trajectory method, accounting for the action of the tunneling orbit in imaginary time and quadratic fluctuations around it, the latter described by the Gelfand-Yaglom differential equation.

Additionally, the tunneling formalism is used for describing the condensate wave function by a trial function of a superposition of several Gaussians. Using this ansatz a Hamiltonian form of the mean-field energy does not exist and the formalism of describing the tunneling process has to be extended. The bounce trajectory is described in the parameter space of the Gaussian width parameters and the equations of motion for the imaginary time evolution are obtained by applying a time-dependent variational principle. The action of the bounce trajectory is investigated as a function of the number of Gaussians taken into account and the contribution of the fluctuations is evaluated using the monodromy matrix.

Der Zerfall von Bose-Einstein Kondensaten aus ihrem metastabilen Grundzustand in den Kollaps aufgrund makroskopischen Quantentunnelns wird mithilfe einer semiklassischen Näherung des Feynman'schen Pfadintegralformalismus untersucht. Die Anwendung eines Variationsansatzes einer einzelnen Gaußfunktion auf die Wellenfunktion der Gross-Pitaevskii-Gleichung und die Verwendung spezieller Breitenparameter führt auf eine Mean-field-Energie in hamiltonscher Form. Die zeitliche Entwicklung der Ausdehnung des Kondensats wird dann durch die Bewegung eines Teilchens in einem externen Potential beschrieben. In diesem Bild wird der Zerfall der Kondensatwellenfunktion mithilfe der Bounce-Trajektorie-Methode untersucht, die die Wirkung der Tunnelbahn in Imaginärzeit und quadratische Fluktuationen um diese berücksichtigt. Die Fluktuationen werden hierbei durch die Gelfand-Yaglom-Differentialgleichung beschrieben.

Zusätzlich wird der Tunnelformalismus für die Beschreibung der Wellenfunktion des Kondensats durch eine Superposition von mehreren Gaußfunktionen verwendet. Für diese Testwellenfunktion steht die hamiltonsche Form der Mean-field-Energie nicht mehr zur Verfügung und der Formalismus für die Beschreibung des Tunnelprozess muss erweitert werden. Die Bounce-Bahn wird im Parameterraum der Gaußschen Breitenparameter beschrieben und die Bewegungsgleichungen für die Imaginärzeitentwicklung aus einem zeitabhängigen Variationsprinzip erhalten. Die Wirkung der Bounce-Trajektorie wird als Funktion der Anzahl verwendeter Gaußfunktionen untersucht und der Beitrag der Fluktuationen mit der Monodromiematrix berechnet.