A high order discretization technique for singularly perturbed differential equations

Kaiser, Klaus; Noelle, Sebastian; Schütz, Jochen; Munz, Claus-Dieter

doi:10.18154/RWTH-2018-228660

A high order discretization technique for singularly perturbed differential equations

Kaiser, Klaus^RWTH*

2018

Verantwortlichkeitsangabesubmitted by Klaus Kaiser M.Sc. RWTH

ImpressumAachen 2018

Umfang1 Online-Ressource (127 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2018. - Dissertation, Hasselt University, 2018

Cotutelle-Dissertation. - Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Noelle, Sebastian (Thesis advisor)^RWTH* ; Schütz, Jochen (Thesis advisor) ; Munz, Claus-Dieter (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2018-09-17

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2018-228660
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/741880/files/741880.pdf
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/741880/files/741880.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Projekte

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
IMEX Runge-Kutta (frei) ; RS-IMEX (frei) ; discontinuous Galerkin (frei) ; isentropic Euler equations (frei) ; low Mach (frei) ; singularly perturbed differential equations (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen konvergieren gegen das inkompressible Gegenstück, wenn die Mach-Zahl ε gegen Null geht. Für den Fall einer schwach kompressiblen Strömung, d.h. ε << 1, können die Gleichungen als singulär gestörte Differentialgleichungen angesehen werden. Diese Gleichungen stellen bestimmte Voraussetzungen an numerische Verfahren, wodurch Standard-Methoden oft nicht in der Lage sind, eine genaue Approximation effizient zu berechnen. Eine Möglichkeit, dieses Problem zu beheben, ist, die Gleichungen in einen steifen und einen nicht steifen Teil zu zerlegen und dann den steifen Teil implizit und den nicht steifen Teil explizit in der Zeit zu diskretisieren. Dieses Verfahren resultiert in eine IMEX-Methode, wobei der entscheidene Teil die Wahl der Zerlegung ist. In dieser Arbeit wird das neue RS-IMEX Splitting, das den ε → 0 Limit verwendet, um die Gleichungen mittels einer Linearisierung aufzuteilen, mit IMEX-Runge-Kutta-Verfahren hoher Ordnung gekoppelt. Die resultierende Methode wird auf verschiedene singulär gestörte Differentialgleichungen angewandt und in ihrem Verhalten für ε << 1 untersucht. Dies wird in den folgenden Schritten getan: Zuerst wird die Methode auf eine Klasse von gewöhnlichen Differentialgleichungen angewandt und es wird gezeigt, inwiefern die resultierende Diskretisierung unter Ordnungsreduktion leidet. Hierfür wird gezeigt, dass das Konvergenzverhalten von ε abhängt und dass die Ordnungsreduktion hauptsächlich vom impliziten Teil der Diskretisierung bestimmt wird. Dies führt zu einem verbesserten Konvergenzverhalten verglichen mit einer Standardzerteilung. Numerische Berechnungen zeigen den Einfluss der Ordnungsreduktion und ein Vergleich mit etablierten Methoden wird durchgeführt. Als zweites wird die Methode auf die isentropen Euler-Gleichungen angewandt und für den Fall schwach kompressibler Strömungen untersucht. Für die räumliche Diskretisierung wird ein unstetiges Galerkin-Verfahren verwendet. Es wird gezeigt, dass die resultierende Methode mit dem ε → 0 Limit der Gleichungen konsistent ist, sie ist also asymptotisch konsistent. Dann werden mit der Hilfe von numerischen Berechnungen die Stabilität und Genauigkeit untersucht. In dieser Arbeit wird eine Diskretisierung hoher Ordnung für singulär gestörte Differentialgleichungen vorgeschlagen, die konsistent mit dem ε → 0 Limit ist und das gewünschte Verhalten im Fall kleiner Mach-Zahlen zeigt.

The compressible Navier-Stokes equations converge towards their incompressible counterpart as the Mach number ε tends to zero. In the case of a weakly compressible flow, i.e. ε << 1, the resulting equations can be classified as singularly perturbed differential equations. Unfortunately, these equations set special requirements on numerical methods due to which standard discretization techniques often fail in efficiently computing an accurate approximation. One remedy is to split the equations into a stiff and a non-stiff part and then handle the stiff part implicitly and the non-stiff part explicitly in time. This procedure results in an IMEX method, with the crucial part being the choice of the splitting. In this thesis the novel RS-IMEX splitting, which uses the ε → 0 limit to split the equations by a linearization, is coupled with high order IMEX Runge-Kutta schemes. The resulting method is applied to different singularly perturbed differential equations and investigated in its behavior for ε << 1. This is done in the following steps: First, the method is applied to a class of ordinary differential equations and it is proven in which way the resulting discretization suffers from order reduction. For this, it is shown that the convergence behavior depends on ε and that order reduction mainly depends on the implicit part of the discretization. This leads to an improved convergence behavior compared to an established splitting. Numerical computations show the influence of order reduction and a comparison to standard methods is provided. Second, the isentropic Euler equations are considered to investigate the resulting method in the setting of a weakly compressible flow. For the spatial discretization a discontinuous Galerkin method is used. It is proven that the resulting method is consistent with the ε → 0 limit of the equations, i.e. the overall algorithm is asymptotically consistent. Then, with the help of numerical computations an investigation of stability and accuracy is provided. Overall, the method proposed in this thesis is a high order discretization for singularly perturbed differential equations which is consistent the ε → 0 limit and shows the desired behavior in the low Mach setting.

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