Format:
1 Online-Ressource (189 S.)
ISBN:
9783322984814
,
9783322979339
Series Statement:
uni-texte
Note:
Dieses Buch stellt eine Einführung in die (komplexe) Funktionentheorie dar. Die Funktionentheorie ist eine nach den verschiedensten Richtungen sehr weit entwickelte mathematische Theorie, deren Grundlage die Theorie der komplexen Differentiation ist. Einer der wichtigsten Sätze der Funktionentheorie ist der Cauchysche Integralsatz. Er besagt, daß das komplexe Kurvenintegral einer komplexwertigen Funktion 1 (z) über eine geschlossene Kurve gleich Null ist, wenn I(z) in jedem Punkt ihres Definitionsgebietes im komplexen Sinne differenzierbar ist. Allerdings gilt diese Aussage nur, wenn über die Struktur des Definitionsgebietes bestimmte Voraussetzungen gemacht werden. Hierin zeigt sich die enge Verbindung von Funktionentheorie und Topologie der Ebene. Diesen Zusammenhang kann man verwenden, um die Funktionentheorie gleich von Anfang an durch Heranziehung topologischer Aussagen aufzubauen. Ein solcher Satz, der an die Spitze der Funktionentheorie gestellt werden kann, ist der Jordansche Kurvensatz. Seine Verwendung ist für die Funktionentheorie äußerst bequem, da in den Begriff des einfach zusammenhängenden Gebietes, zu dessen Definition man die Aussage des Jordanschen Kurvensatzes benötigt, sozusagen alle topologischen Schwierigkeiten hineingesteckt werden. Ein Nachteil dieser Ansätze ist, daß manche Analogien zur reellen Analysis, die erhalten bleiben könnten, verlorengehen. SARS und ZYGMUND waren meines Wissens die ersten, die auf diesen Umstand hingewiesen und in ihrem Buch [56] die Funktionentheorie ohne Verwendung des Jordanschen Kurvensatzes aufgebaut haben. Diese Idee wurde von L. AHLFoRs [1] erneut aufgegriffen. R. NEVAN LINNA und V. PAATERO gaben in [48] einen Aufbau der Funktionentheorie mit Hilfe von Elementardeformationen, wodurch unnötige topologische Schwierigkeiten umgangen werden
Language:
German
Keywords:
Funktionentheorie
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Grundlage
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Einführung
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Lehrbuch
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Einführung
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Lehrbuch
DOI:
10.1007/978-3-322-98481-4
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