Umfang:
1 Online-Ressource
ISBN:
9783662012345
,
9783662012352
Serie:
Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, In Einzeldarstellungen mit Besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete 96
Anmerkung:
In dieser Vorlesung wird ein Aufbau der ebenen metrischen Geometrie entwickelt, bei dem von den Spiegelungen und der von den Spiegelungen erzeugten Bewegungsgruppe systematisch Gebrauch gemacht wird. Für die gewohnte euklidische Ebene und auch für die klassischen nichteuklidischen Ebenen kann man leicht die folgenden Tatsachen feststellen: Den Punkten und den Geraden entsprechen eineindeutig die Spiegelungen an den Punkten und die Spiegelungen an den Geraden, also involutorische Elemente der Bewegungsgruppei. Geometrische Beziehungen wie die Inzidenz von Punkten und Geraden und die Orthogonalität von Geraden lassen sich durch gruppentheoretische Relationen zwischen den zugehörigen Spiegelungen wiedergeben. Daher kann man geometrische Sätze in Sätze über Spiegelungen und Spiegelungsprodukte übersetzen. Man wird so dazu geführt, die Spiegelungen zum Gegenstand geometrischer Betrachtung zu machen, und in der Bewegungsgruppe "Geome trie der Spiegelungen" zu betreiben. Faßt man die Spiegelungen selbst als geometrische Gegenstände, nämlich als neue "Punkte" und "Geraden" auf, so kann man für sie geometrische Beziehungen wie "Inzidenz" und "Orthogonalität" durch gruppentheoretische Relationen so definieren, daß der neue Bereich ein treues Abbild der ursprünglich gegebenen Punkte und Geraden mit ihrer Inzidenz, Orthogonalität usw. ist. Durch den gruppentheoretischen Kalkül der Spiegelungen hat man aber in dem neuen Bereich die Möglichkeit, mit den geometrischen Gegenständen zu rechnen, und gewinnt damit ein methodisches Hilfsmittel für das Beweisen geometrischer Sätze - Von diesem Gedanken wollen wir beim Aufbau der ebenen metrischen Geometrie Gebrauch machen
Sprache:
Deutsch
Schlagwort(e):
Spiegelungsgeometrie
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Geometrie
DOI:
10.1007/978-3-662-01234-5
